자료구조/비선형구조/트리

Tree 란?

• 단방향 그래프의 한 구조
• 하나의 뿌리로부터 가지가 사방으로 뻗은 형태

tree - 계층적 자료구조

• 데이터가 바로 아래에 있는 하나 이상의 데이터에 한 개의 경로와 하나의 방향으로만 연결된 계층적 자료구조
• 데이터를 순차적으로 나열시킨 선형 구조가 아니라, 하나의 데이터 아래에 여러 개의 데이터가 존재할 수 있는 비선형 구조
• 트리구조는 계층적으로 표현이 되고, 아래로만 뻗어나가기 때문에 사이클(cycle)이 없습니다. → 연결 그래프(Connected Graph)

사이클
- 시작 노드에서 출발해 다른 노드를 거쳐 다시 시작 노드로 돌아오는 것 

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Tree의 구조와 특징

• Root
  • 트리 구조의 시작점이 되는 노드
• Node
  • 트리 구조를 이루는 모든 개별 데이터
• Parent Node (부모 노드)
  • 두 노드가 상하관계로 연결되어 있을 때 상대적으로 Root에서 가까운 node
• Child Node (자식 노드)
  • 두 노드가 상하관계로 연결되어 있을 때 상대적으로 Root에서 먼 node
• Leaf Node
  • (나무의 잎과 같다고 하여) 트리 구조의 끝 지점이고, 더이상의 자식 노드가 없는 node

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• Depth (깊이)
  • 트리 구조에서는 루트로부터 하위 계층의 특정 노드까지의 깊이를 표현할 수 있다.
  • 루트 노드는 지면에 있는 것처럼 깊이가 0 / B,C는 깊이가 1 / D,E,F,G의 깊이는 2
• Level (레벨)
  • 트리 구조에서 같은 깊이를 가지고 있는 노드를 묶어서 레벨이라고 한다. 
  • depth가 0인 루트 A의 레벨은 1 / depth가 1인 B,C의 레벨은 2 
  • 같은 레벨에 나란히 있는 노드를 형제 노드(Sibling Node)라고 한다.
• 높이 (Height)
  • 트리 구조에서 리프 노드를 기준으로 루트까지의 높이를 표현할 수 있다.
  • 각 리프 노드의 높이는 0 / H,I,J,E,F의 높이는 0 / D와 G의 높이는 1 / B와 C의 높이는 2 / 루트 A의 높이는 3
• 서브 트리 (Sub Tree)
  • 트리 구조의 root에서 뻗어나오는 큰 트리의 내부에, 트리구조를 갖춘 작은 트리를 서브 트리라고 합니다.
  • (D, H, I)로 이루어진 작은 트리도 서브 트리이고, (B, D, E)나 (C, F, G, J)도 서브 트리

 

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Tree의 실사용 예제

• 컴퓨터의 디렉터리 구조
• 하나의 폴더(루프 폴더, /)에서 시작되어, 가지를 뻗어나가는 모양새 

• 월드컵 토너먼트 대진표
• 가계도 (족보)
• 조직도 등등

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이진 트리 (Binary Tree)

• 자식 노드가 최대 두 개인 노드들로 구성된 트리
  • 이 2개의 자식 노드는 왼쪽 자식 노드 & 오른쪽 자식 노드

• 자료의 삽입, 삭제 방법에 따라 아래와 같이 나뉜다.
  • 정 이진 트리(Full binary tree)
    • 각 노드가 0개 혹은 2개의 자식 노드를 갖습니다.
  • 완전 이진 트리(Complete binary tree)
    • 마지막 레벨을 제외한 모든 노드가 가득 차 있어야 하고,
    • 마지막 레벨의 노드는 전부 차있지 않아도 되지만, 왼쪽이 채워져야 합니다.
  • 포화 이진 트리(Perfect binary tree)
    
    • 정 이진 트리 && 완전 이진 트리
    • 모든 리프 노드의 레벨이 동일하고, 
    • 모든 레벨이 가득 채워져 있는 트리입니다.

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이진 탐색 트리 (Binary Search Tree)

• 이진 탐색(Binary Search) + 연결 리스트(Linked List) 를 결합한 이진트리
• 각 노드에 중복되지 않는 키(key)가 있습니다.
• 루트노드의 왼쪽 서브 트리는 해당 노드의 키보다 작은 키를 갖는 노드들로 이뤄져 있습니다.
• 루트노드의 오른쪽 서브 트리는 해당 노드의 키보다 큰 키를 갖는 노드들로 이뤄져 있습니다.
• 좌우 서브트리도 모두 이진 탐색 트리여야 합니다.

한마디로,
모든 왼쪽 자식의 값이 루트나 부모보다 작고, 모든 오른쪽 자식의 값이 루트나 부모보다 큰 값을 가지는 특징이 있다!

이진 탐색 트리의 특징

• 기존 이진 트리보다 탐색이 빠르다는 장점
• 이진 탐색 트리는 높이가 h(height)라면, o(h)의 복잡도를 가지게 되어 효율적인 연산이 가능

<이진 탐색 트리의 탐색 과정>
1. 루트 노드의 키와 찾고자 하는 값을 비교합니다. 만약 찾고자 하는 값이라면 탐색을 종료합니다.
2. 찾고자 하는 값이 루트 노드의 키보다 작다면 왼쪽 서브 트리로 탐색을 진행합니다.
3. 찾고자 하는 값이 루트 노드의 키보다 크다면 오른쪽 서브 트리로 탐색을 진행합니다.

▶ 이 과정을 찾고자 하는 값을 찾을 때까지 반복해 진행합니다. 만약 값을 찾지 못한다면 그대로 연산을 종료하게 됩니다. 이러한 탐색 과정을 거치면 최대 트리의 높이(h)만큼 탐색을 진행합니다.

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Tree Traversal (트리 순회)

• 특정 목적을 위해 트리의 모든 노드를 한 번씩 방문하는 것
• 트리 구조에서 노드를 순차적으로 조회할 때의 순서는 항상 왼쪽→오른쪽

순회 방식을 나누는 이유
일정 조건에 의해 설계된 트리구조는 자식 노드에 대한 조건이 명확하다면 원하는 값을 쉽게 찾을 수 있지만, 트리 구조 전체를 탐색할 땐 아니다. 모든 노드를 방문하기 위해서는 일정한 조건이 필요하고, 트리구조를 유지 보수하거나 특정 목적을 위해서도 순회 방법에 대한 정의는 필수적으로 필요합니다.

트리 순회의 3가지 방법 🔽

전위 순회 (preorder traverse)

• Root → Left → Right

전위 순회에서 가장 먼저 방문하는 노드는 루트
루트에서 시작해 왼쪽의 노드들을 순차적으로 둘러본 뒤, 
왼쪽의 노드 탐색이 끝나면 오른쪽 노드를 탐색합니다.
즉, 부모 노드가 제일 먼저 방문되는 순회 방식입니다.
전위 순회는 주로 부모 노드가 먼저 생성되어야 하는 트리를 복사할 때 사용하게 됩니다.

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중위 순회 (inorder traverse)

• Left → Root → Right

중위 순회는 루트를 가운데 두고 순회합니다.
제일 왼쪽 끝에 있는 노드부터 순회하기 시작하여, 
루트를 기준으로 왼쪽에 있는 노드의 순회가 끝나면, 루트를 거쳐, 오른쪽에 있는 노드로 이동하여 마저 탐색합니다.
부모 노드가 서브 트리의 방문 중간에 방문되는 순회 방식입니다.
중위 순회는 이진 탐색 트리의 오름차순으로 값을 가져올 때 쓰입니다.

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후위 순회 (postorder traverse)

• Left → Right → Root

후위 순회는 루트를 가장 마지막에 순회합니다.
제일 왼쪽 끝에 있는 노드부터 순회하기 시작하여,
루트를 거치지 않고 오른쪽으로 이동해 순회한 뒤, 제일 마지막에 루트를 방문합니다.
후위 순회는 트리를 삭제할 때 사용합니다. 자식 노드가 먼저 삭제되어야 상위 노드를 삭제할 수 있기 때문입니다.